HTML

<div class="day"></div>
<div class="month"></div>

Обычные дивы, куда мы будем записывать значение.

JS

const day = document.querySelector('.date');
const month = document.querySelector('.month');
let d = new Date();

d.setDate(d.getDate() + 1);
day.textContent = d.getDate();

let month = 2;
let arr = [
  'января',
  'февраля',
  'марта',
  'апреля',
  'мая',
  'июня',
  'июля',
  'августа',
  'сентября',
  'ноября',
  'декабря',
];
month.textContent = arr[month + 1];

Собственно говоря, в переменную d загоняем текущий день и выводим его в любой див с классом date. Затем создаем массив месяцев в родительном падеже и работаем с ними. d.getDate() + 1, где 1 - число дней, на которые увеличиваем текущую дату. Все довольно просто и универсально. Пользуйтесь)